Mwelekeo wa Muda Mrefu: Sheria ya Namba Kubwa katika Roulette
Jinsi wastani unavyotulia kuelekea −2.70%, na kwa nini hilo huchukua muda mrefu kuliko hisia zinavyodokeza.
Hasara ya wastani kwa kila mzunguko hukaribia −1/37 kadiri mizunguko inavyoongezeka, huku mtawanyiko ukipungua kama 1/√N. Baada ya mizunguko 1,000 ya dau kwenye nyekundu, kwa kawaida wastani huwa ndani ya ±3% ya thamani yake inayotarajiwa.
Sheria ya namba kubwa
Wastani unaoendelea wa dau huru huelekea thamani inayotarajiwahisabatiThamani inayotarajiwaMatokeo ya wastani kwa kila dau kwa muda mrefu. −1/37 ya dau kwa kila dau la kawaida la Ulaya.Soma yote →. Baada ya mizunguko N ya uwiano sawa kwa kitengofedhaKitengoDau la msingi ambalo mfumo au mchezaji hutumia. Mifumo ya ongezeko huelezwa kwa vitengo ili itumike katika jedwali lolote.Soma yote → kimoja, matokeo ya wastani kwa kila mzunguko yana thamani inayotarajiwa ya −1/37 na mkengeuko wa kawaidahisabatiMkengeuko wa kawaidaMzizi wa mraba wa utofauti; umbali wa kawaida wa matokeo kutoka thamani inayotarajiwa.Soma yote → wa 1/√N. Kwa N = 100 mtawanyiko huo ni 10% ya dau, karibu mara nne ya ishara ya 2.7%. Kwa N = 1,000 ni 3.2%, takribani sawa na ishara. Kwa N = 10,000 ni 1%, na faida ya nyumba inaonekana wazi. Faida ya nyumba haionekani katika kipindi kimoja, lakini haikosi kuonekana katika mwaka mzima.
Kinachokaribia thamani moja na kisichokaribia
Wastani kwa kila mzunguko hukaribia thamani moja. Jumla haikaribii: inazidi kusogea mbali na sifuri kadiri N inavyoongezeka, kwa takribani 2.7% ya N kwa matarajio, na mtawanyiko wa √N kuzunguka thamani hiyo. Mchezaji aliyecheza mizunguko 10,000 kwa $10 anatarajiwa kuwa na hasara ya $2,700, zaidi au chini ya $1,000. Uwiano unaoendelea wa nyekundudauNyekunduDau la uwiano sawa kwa namba 18 nyekundu. Kifaransa: rouge.Soma yote → umeshatulia zamani karibu na 48.65%; salio linaloendelea halijatulia popote.
- p10 −$440
- p25 −$280
- wastani wa kati −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
Kwa nini hisia hukosea
Watu hutarajia faida ya nyumba ionekane haraka kwa sababu 2.70% inasikika kuwa nyingi, na hutarajia mfululizo mrefu “ujisawazishe” kwa sababu sheria ya namba kubwahisabatiSheria ya namba kubwaWastani wa matokeo huru huelekea thamani inayotarajiwa kadiri idadi ya majaribio inavyokua.Soma yote → inasema wastani hukaribia thamani moja. Hisia zote mbili zinakosea ukubwa wa mambo: faida ya nyumba ni ndogo ukilinganisha na utofautihisabatiUtofautiKipimo cha jinsi matokeo yanavyoenea kwa upana kuzunguka thamani inayotarajiwa. Kikubwa kwa dau la namba moja, kidogo kwa dau za uwiano sawa.Soma yote → wa mzunguko mmoja (σ = kitengo 1 dhidi ya EV = 0.027), kwa hiyo inahitaji mizunguko (1/0.027)² ≈ 1,400 ili ionekane kwa sigma moja. Na kukaribia kwa wastani hakuirudishi jumla nyuma hata kidogo; hupunguza tu uzito wa mabadiliko yaliyopita.
Kukaribia kwa dau nyingine
Kwa dau la namba mojadauDau la namba mojaNamba moja, hulipa 35:1.Soma yote → σ = 5.84, kwa hiyo hesabu ileile inatoa mizunguko (5.84/0.027)² ≈ 47,000 ili faida ya nyumba ifikie sigma moja. Mchezaji wa dau la namba moja anaweza kucheza kwa miaka bila faida ya nyumba kutofautishwa na bahati katika rekodi zake mwenyewe, huku akilipa 2.70% ileile kabisa anayolipa mchezaji wa nyekundu anayeiona ndani ya wiki chache.
Maana kwa kupima mifumo
Yeyote anayedai kuwa mfumo unafanya kazi anapaswa kuweza kuuonyesha katika mizunguko 10,000 au zaidi, ukiwa na wastani chanya ulioandikwa. Katika mizunguko 1,000, wastani chanya kwa uwiano sawa ni tukio la moja kati ya tano chini ya dhana ya kutokuwa na athari; katika mizunguko 100 ni karibu sawa na kurusha sarafu. Visimulizi vya tovuti hii huendesha vipindi 2,000 vya urefu unaouchagua ndani ya sekunde moja, jambo ambalo ni ushahidi mkubwa kuliko ushuhuda wowote.
Fomula
Maswali
UwezekanohisabatiUwezekanoNafasi ya matokeo, kutoka 0 hadi 1 au 0% hadi 100%. Namba moja: 1/37 = 2.70%.Soma yote → wa kuwa mbele tena hushuka kuelekea sifuri kadiri unavyocheza. Jumla huteremka bila kikomo.
Hapana. Inamaanisha kuwa mabadiliko yaliyopita huwa sehemu ndogo zaidi ya sampuli kubwa zaidi.
Kwa uwiano sawa, takribani 10,000 kabla faida ya nyumba haijaonekana wazi. Kwa dau la namba moja, takribani 50,000.
Burudani ya Hisabati
Jaribu haya mwenyewe kwanza. Kila suluhisho limefichwa; lifungue ukiwa tayari.
Marafiki wawili wanacheza raundi 20 za mchezo wa hakihisabatiMchezo wa hakiMchezo ambao hakuna upande wenye faida: kila dau ina thamani inayotarajiwa ya sifuri.Soma yote →, kurusha sarafu au nyekundudauNyekunduDau la uwiano sawa kwa namba 18 nyekundu. Kifaransa: rouge.Soma yote → dhidi ya nyeusidauNyeusiDau la uwiano sawa kwa namba 18 nyeusi. Kifaransa: noir.Soma yote → huku dau zikirudishwa kwenye sifurigurudumuSifuriKiboksi kimoja cha kijani ambacho hakuna dau la uwiano sawa, dazeni au safu hufunika; chanzo cha faida ya nyumba. Pia: sifuri moja, 0.Soma yote →, na wanaweka hesabu ya matokeo inayoendelea. Hesabu raundi ambazo kila mmoja yuko mbele (sare huhesabiwa kwa yule aliyekuwa mbele kabla yake). Lipi lina uwezekano mkubwa zaidi: kwamba uongozi unagawanywa raundi 10 kwa 10, au kwamba rafiki mmoja anaongoza raundi zote 20?
Onyesha suluhisho
Jibu Rafiki mmoja kuongoza raundi zote 20 kuna uwezekano mkubwa zaidi kwa mbali: 35.2%, ukihesabu rafiki yeyote kati yao, dhidi ya 6.1% kwa mgawanyo sawa wa 10 kwa 10.
Nafasi kwamba hesabu ya matokeo ya haki iko sawa baada ya raundi 2k ni u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0.246 baada ya raundi 10 na 0.176 baada ya 20. Tokeo la kawaida, sheria ya arcsine, linasema kwamba nafasi ya rafiki mmoja aliyetajwa kuongoza kwa raundi 2k hasa kati ya 2n ni u(2k) × u(2n − 2k).
Kuongoza raundi zote 20: u(20) × u(0) = 0.176 kwa kila rafiki, 35.2% kwa yeyote kati yao. Mgawanyo sawa: u(10) × u(10) = 0.246² = 6.1%, mgawanyo wenye uwezekano mdogo kuliko yote.
Kwa hiyo katika mchezo wa haki uongozi huhama kutoka kwa mmoja hadi kwa mwingine mara chache. Mchezaji aliyekuwa mbele jioni nzima, au nyuma jioni nzima, hajaona kitu kisicho cha kawaida, na hilo halisemi chochote kuhusu gurudumu wala kuhusu ujuzi. Epstein (2013) anatoa sheria hiyo hiyo kwa michezo mirefu zaidi: nusu ya mara upande wenye bahati zaidi huongoza kwa zaidi ya 85% ya mchezo.
Kichekesho
Wastani hukaribia thamani moja. Jumla inaondoka tu.
Vyanzo
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.