Tatizo: Gurudumu la Siku ya Kuzaliwa
Ni mizunguko mingapi kabla namba fulani haijajirudia? Ni michache sana kuliko watu wengi wanavyokisia.
Tatizo la siku ya kuzaliwa kwenye gurudumu lenye viboksivifaaKiboksiKimoja cha sehemu 37 zenye namba kwenye rota. Pia: slot, cup.Soma yote → 37: baada ya mizunguko 8 tu kuna nafasi ya zaidi ya nusu kwamba namba fulani imeshatokea mara mbili. Wachezaji husoma marudio kama mitindo; kwa kweli ni tabia inayotarajiwa ya gurudumu la haki.
Tatizo
Zungusha gurudumu la haki la Ulaya. Ni mizunguko mingapi hadi uwezekanohisabatiUwezekanoNafasi ya matokeo, kutoka 0 hadi 1 au 0% hadi 100%. Namba moja: 1/37 = 2.70%.Soma yote → kwamba angalau mizunguko miwili imeonyesha namba ileile uzidi nusu? Wachezaji wengi hukisia mahali fulani karibu na 18 au 19, nusu ya 37. Jibu ni 8.
Suluhisho
Hesabu uwezekano wa kutokuwa na marudio kisha uutoe kutoka moja. Baada ya mizunguko k, p(zote tofauti) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). Kwa k = 8: 1 × 0.973 × 0.946 × 0.919 × 0.892 × 0.865 × 0.838 × 0.811 ≈ 0.44, kwa hiyo p(marudio fulani) ≈ 0.56. Kwa k = 14 ni 0.93; kwa k = 20 ni 0.996. Hisia hukosea kwa sababu idadi ya jozi za mizunguko hukua kama k², na jozi yoyote inaweza kulingana.
Kwa nini ni muhimu mezani
Ubao wa matokeo wa namba 20 za mwisho karibu kila mara utaonyesha angalau marudio moja, mara nyingi mawili au matatu. Wachezaji wanaona “17 imetokea mara mbili katika mizunguko kumi” na kuhitimisha kuwa 17 ni “moto”; hesabu ya siku ya kuzaliwa inasema marudio ndani ya mizunguko kumi hutokea 74% ya mara zote, na namba inayojirudia ni ya nasibu. Mtindo huo upo kweli; maana yake haipo.
Tatizo la nyongeza
Ni mizunguko mingapi hadi namba mahususi, tuseme 17, itokee mara mbili? Hilo ni swali tofauti lenye jibu kubwa zaidi: muda wa kusubiri unaotarajiwa ni mizunguko 74, na uwezekano wa 17 mbili ndani ya mizunguko 20 ni takribani 10%. Tofauti kati ya “namba fulani inajirudia” (mizunguko 8) na “namba hii inajirudia” (mizunguko 74) ndiyo tofauti nzima kati ya mtindo unaougundua baadaye na utabiri unaoufanya mapema.
Jaribu
Endesha Mchezo wa Majaribio kwa mizunguko kumi na uangalie historia. Kwa kawaida kutakuwa na marudio. Uendeshe tena. Namba inayojirudia itakuwa tofauti. Fanya hivi mara kumi na utakuwa umeliona tatizo la siku ya kuzaliwahisabatiTatizo la siku ya kuzaliwaIdadi ya watu inayohitajika kabla wawili huenda wakawa na siku moja ya kuzaliwa, au idadi ya mizunguko kabla namba huenda ikajirudia. Kwenye gurudumu lenye viboksi 37, mizunguko 8 inatosha kwa nafasi iliyo zaidi ya nusu.Soma yote →; fanya mara elfu (visimulizi vinaweza) na utakuwa umelipima.
Fomula
Maswali
Ndiyo kabisa, kwa viboksi 37 badala ya siku 365. Watu 23 hutoa 50% kwa siku za kuzaliwa; mizunguko 8 hutoa 56% kwa gurudumu.
50% baada ya takribani mizunguko 19. Bado ni jambo la kawaida.
Hapana. Maelfu ya mizunguko kutoka gurudumu moja yangeweza kuashiria; marudio hayawezi kamwe.
Burudani ya Hisabati
Jaribu haya mwenyewe kwanza. Kila suluhisho limefichwa; lifungue ukiwa tayari.
Ubao wa matokeo kando ya gurudumu la Marekani unaonyesha mizunguko 16 ya mwisho. Kuna uwezekano gani kwamba hakuna namba inayoonekana mara mbili juu yake?
Onyesha suluhisho
Jibu Takriban 2.5%: karibu mbao 39 kati ya 40 huonyesha angalau namba moja inayojirudia.
Nenda mzunguko kwa mzunguko. Mzunguko wa kwanza unaweza kuwa namba yoyote. Wa pili lazima uikose: nafasi 37 kati ya 38. Wa tatu lazima ukose zote mbili: 36 kati ya 38. Wa kumi na sita lazima ukose namba kumi na tano: 23 kati ya 38.
Zidisha: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0.0246.
Ubao usio na marudio ndio adimu. Ubao wenye marudio hausemi chochote kuhusu gurudumu.
Katika mizunguko kumi ya gurudumu la Ulaya, kuna uwezekano gani kwamba 17 itatokea mara tano hasa? Kwamba namba fulani, namba yoyote, itatokea mara tano au zaidi? Na kwamba namba fulani itatokea angalau mara tatu katika mizunguko minne?
Onyesha suluhisho
Jibu 17 mara tano hasa: 1 kati ya 315,576. Namba fulani mara tano au zaidi: takriban 1 kati ya 8,333. Namba fulani mara tatu au zaidi katika mizunguko minne: 1 kati ya 349.
17 mara tano: chagua mizunguko mitano kati ya kumi, njia 252, kila moja kwa uwezekano wa (1/37)⁵ × (36/37)⁵. Kwa pamoja, 1 kati ya 315,576.
Namba fulani: kila moja ya namba 37 ina uwezekano wa 1 kati ya 308,325 wa kutokea mara tano au zaidi, jambo linalotoa 37 katika 308,325, au 1 kati ya 8,333. Hali adimu ya namba mbili zinazotokea mara tano kila moja huhesabiwa mara mbili, lakini kuiondoa hakubadilishi chochote kwa usahihi huu.
Mara tatu katika mizunguko minne: kwa namba moja, 4 × 36 + 1 = 145 kati ya matokeo 37⁴ yanayowezekana; kwa yoyote kati ya namba 37, 145/37³ = 1 kati ya 349.
Kwa gurudumu la sifurigurudumuSifuriKiboksi kimoja cha kijani ambacho hakuna dau la uwiano sawa, dazeni au safu hufunika; chanzo cha faida ya nyumba. Pia: sifuri moja, 0.Soma yote → mbili, takwimu zinazolingana ni 1 kati ya 359,275, 1 kati ya 9,243 na 1 kati ya 368. Pengo kati ya “17” na “namba fulani” ni tatizo la siku ya kuzaliwahisabatiTatizo la siku ya kuzaliwaIdadi ya watu inayohitajika kabla wawili huenda wakawa na siku moja ya kuzaliwa, au idadi ya mizunguko kabla namba huenda ikajirudia. Kwenye gurudumu lenye viboksi 37, mizunguko 8 inatosha kwa nafasi iliyo zaidi ya nusu.Soma yote → tena: kuna njia 37 za kushangazwa.
Kichekesho
Kitu fulani hujirudia mapema. Kitu hicho ni cha nasibu.
Vyanzo
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, maswali kuhusu roulette.