Tatizo: Kikomo cha Jedwali
Martingale ya $10 kwenye jedwali la $500. Huvunjika mara ngapi, hupoteza kiasi gani inapovunjika, na je, kupandisha kikomo husaidia?
Hasara sita mfululizo huivunja: 1.8% kwa kila mzunguko wa mfumo, takribani 60% ya vipindi vya mizunguko 100. Kuvunjika hugharimu $630. Kupandisha kikomo hadi $5,000 hufanya kuvunjika kuwe nadra zaidi (0.25% kwa kila mzunguko wa mfumo) na kukubwa zaidi ($5,110). Hasara inayotarajiwa kwa kila dola iliyowekwa dau ni 2.70% kwa kikomo chochote.
Tatizo
Mchezaji anaweka $10 kwenye nyekundudauNyekunduDau la uwiano sawa kwa namba 18 nyekundu. Kifaransa: rouge.Soma yote → na huongeza dau mara mbili baada ya kila hasara, akirudi mwanzo baada ya ushindi. Kiwango cha juu cha jedwali ni $500. (a) Ni hasara ngapi mfululizo zinazovunja mfumo wa ongezekomkakatiMfumo wa ongezekoKanuni yoyote inayobadilisha dau kulingana na matokeo ya awali. Mifumo hasi huiongeza baada ya hasara, chanya baada ya ushindi.Soma yote →? (b) UwezekanohisabatiUwezekanoNafasi ya matokeo, kutoka 0 hadi 1 au 0% hadi 100%. Namba moja: 1/37 = 2.70%.Soma yote → kwa kila mzunguko wa mfumo ni upi? (c) Kinachopotea wakati wa kuvunjika ni kiasi gani? (d) Kikomo cha $5,000 kinabadilishaje majibu? (e) Je, kuna kikomo chochote kinachofanya mfumo uwe na faida?
Masuluhisho ya (a)–(c)
Dau: 10, 20, 40, 80, 160, 320. La saba lingekuwa 640 > 500, kwa hiyo hasara sita huuvunja. (b) p(hasara) = 19/37 kwenye nyekundu; (19/37)⁶ = 0.0183, takribani 1.8% kwa kila mzunguko wa mfumo. Mzunguko wa mfumo hudumu takribani mizunguko miwili kwa wastani, kwa hiyo kipindi cha mizunguko 100 kina takribani mizunguko ya mfumo 50 na p(angalau kuvunjika mara moja) ≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, ambavyo ni vitengofedhaKitengoDau la msingi ambalo mfumo au mchezaji hutumia. Mifumo ya ongezeko huelezwa kwa vitengo ili itumike katika jedwali lolote.Soma yote → 63 vya msingi, dhidi ya $10 ambazo mzunguko wa mfumo ulikuwa ukijaribu kushinda.
Suluhisho la (d)
Kwa $5,000: dau hadi 2,560 zinaruhusiwa; dau la kumi, 5,120, linakataliwa. Hasara tisa huuvunja: (19/37)⁹ ≈ 0.25% kwa kila mzunguko wa mfumo, takribani 11% ya vipindi vya mizunguko 100. Hasara wakati wa kuvunjika: 10 + 20 + … + 2,560 = $5,110. Mchezaji amenunua janga lililo nadra zaidi kwa bei ya janga kubwa zaidi. Katika vipindi vingi, gharama inayotarajiwa ya kuvunjika ni p × hasara ≈ 0.0183 × 630 = $11.5 kwa kila mzunguko wa mfumo kwa kikomo cha $500 na 0.0025 × 5,110 = $12.8 kwa $5,000; ukizingatia ukadiriaji, ni namba ileile, na ni hasara inayotarajiwahisabatiHasara inayotarajiwaThamani inayotarajiwa ikizidishwa kwa jumla ya kiasi kilichowekwa dau; kiasi cha wastani kinachopotea kwa kipindi au muda fulani.Soma yote → ya mzunguko wa mfumo ukitoa $10 ambazo mizunguko ya mfumo iliyoshinda huzipata.
Suluhisho la (e)
Hapana. Hasara inayotarajiwa kwa kila mzunguko wa mfumo = (jumla ya dau inayotarajiwa katika mzunguko wa mfumo) / 37, kwa kikomo chochote, kwa sababu kila dau ni −1/37 ya thamani yake. Kikomo huamua tu jinsi hasara inavyogawanywa kati ya ushindi mwingi mdogo na hasara chache kubwa. Bila kikomo na kwa mtaji wa kuchezeafedhaMtaji wa kuchezeaJumla ya fedha zilizotengwa kwa kucheza. Usimamizi wa mtaji wa kuchezea huamua kiasi cha kuhatarisha kwa kila dau na kila kipindi.Soma yote → usio na mwisho mfumo wa ongezeko “ungefanya kazi”, kwa maana kwamba usingevunjika kamwe, na pia ungeweka dau la kiasi kisicho na mwisho chenye hasara inayotarajiwa ya 2.70% ya kiasi hicho kisicho na mwisho. Kikomo cha jedwalijedwaliKikomo cha jedwaliDau la chini na la juu linaloruhusiwa. Kiwango cha juu ndicho husimamisha mifumo ya kuongeza maradufu.Soma yote → si kinachozuia MartingalemkakatiMartingaleMfumo wa ongezeko unaoongeza dau maradufu baada ya kila hasara. Tazama sehemu ya Mikakati kwa kile kinachofanya na kisichofanya.Soma yote → isifanye kazi. Hesabu ndiyo inayozuia.
Majedwali mawili halisi
Mfano wa Thorp ni jedwali la $1 lenye kiwango cha juu cha $1,000, ambapo mchezaji anatumaini kushinda $30 za chakula cha jioni dola moja kwa wakati. Dau 1, 2, 4 … 512 huruhusu dau kumi, kwa hiyo hasara kumi mfululizo huvunja mfumo wa ongezeko: mara moja katika mizunguko ya mfumo 785 kwenye gurudumu la Ulaya (mara moja katika 613 kwenye la Marekani), kwa gharama ya $1,023. Mizunguko ya mfumo thelathini yote hufaulu 96.2% ya mara zote. Zile 3.8% zilizobaki hupoteza takribani $1,000, na matokeo ya wastani ya jioni ni −$9.17, ambayo ni sawa kabisa na 1/37 ya $339 ambazo mizunguko ya mfumo thelathini huweka dau kwa wastani. Jedwali la $5 lenye kiwango cha juu cha $2,000 halina tofauti: dau hadi $1,280 huruhusu dau tisa, na kuvunjika huja mara moja katika mizunguko ya mfumo 403 kwenye gurudumu la Ulaya (mara moja katika 323 kwenye la Marekani) na hugharimu $2,555.
Mchezaji tajiri
Upe mfumo wa ongezeko mtaji mkubwa wa kuchezea badala ya kikomo cha chini: vitengo 1,000, dau la msingi la kitengo kimoja na mizunguko 1,000 kwenye nyekundu, ukianza tena kwa kitengo kimoja kila mara dau linalofuata la kuongeza mara mbili linapozidi kilichobaki. Tuliiga jioni milioni moja za aina hiyo. Kwenye gurudumu la Ulaya 52% humaliza wakiwa mbele, 21% hupoteza kila kitu, na matokeo ya wastani ni vitengo −124. Hata katika mchezo usio na sifurigurudumuSifuriKiboksi kimoja cha kijani ambacho hakuna dau la uwiano sawa, dazeni au safu hufunika; chanzo cha faida ya nyumba. Pia: sifuri moja, 0.Soma yote →, ambapo kila dau ni la haki, ni takribani 60% tu wangemaliza wakiwa mbele. Jioni ya kawaida ni ushindi mdogo; wastani hulipwa na jioni zinazoishia sifuri.
Funzo
Kasino huweka vikomo ili kudhibiti utofautihisabatiUtofautiKipimo cha jinsi matokeo yanavyoenea kwa upana kuzunguka thamani inayotarajiwa. Kikubwa kwa dau la namba moja, kidogo kwa dau za uwiano sawa.Soma yote → wao wenyewe, si ili kushinda mifumo. Kushinda Martingale ni athari ya pembeni wanayofurahi kuwa nayo, na hesabu ingeishinda hata hivyo. Mchezaji anayefikiri kuwa kikomo ndicho tatizo ameugundua mwamba na kuudhania kuwa ndio mteremko.
Fomula
Maswali
Unakuwezesha kustahimili hadi kikomo cha juu zaidi, ambapo kuvunjika ni nadra zaidi na kukubwa zaidi. Hasara inayotarajiwa kwa kila dola haibadiliki.
Dau 10, 30, 70, 150, 310: kikomo cha $500 kinafikiwa baada ya hasara tano, na kuvunjika hugharimu $570. 2.70% ileile.
Ili mchezaji mmoja asiweze kuweka dau zaidi ya kile ambacho akiba ya kasino inaweza kulipa bila shida. Usimamizi wa utofauti.
Burudani ya Hisabati
Jaribu haya mwenyewe kwanza. Kila suluhisho limefichwa; lifungue ukiwa tayari.
MartingalemkakatiMartingaleMfumo wa ongezeko unaoongeza dau maradufu baada ya kila hasara. Tazama sehemu ya Mikakati kwa kile kinachofanya na kisichofanya.Soma yote → huanza na $100 kwenye nyekundudauNyekunduDau la uwiano sawa kwa namba 18 nyekundu. Kifaransa: rouge.Soma yote → na hujiruhusu dau zisizozidi n kwa kila mzunguko wa mfumo: baada ya hasara n mfululizo huacha na kuanza upya. Andika matokeo ya wastani ya mzunguko mmoja wa mfumo kama fomula ya n, na uyahesabu kwa dau 5, 6 na 7 kwenye gurudumu la Ulaya.
Onyesha suluhisho
Jibu Wastani ni 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14.26 kwa dau 5, −$17.35 kwa 6 na −$20.52 kwa 7. Kuruhusu dau zaidi hufanya mzunguko wa mfumo wa wastani kuwa mbaya zaidi, si bora.
Mzunguko wa mfumo hushinda $100 isipokuwa dau zote n zipoteze, jambo linalotokea kwa nafasi ya qⁿ, ambapo q = 19/37. Zote zikipoteza, dau 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ hujumlika kuwa 100 × (2ⁿ − 1). Kwa hiyo wastani ni 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Hapa 2q = 38/37, zaidi kidogo ya 1, kwa hiyo (2q)ⁿ hukua pamoja na n na wastani hushuka: n = 5 hutoa 1.1426 na −$14.26; n = 6 hutoa 1.1735 na −$17.35; n = 7 hutoa 1.2052 na −$20.52. Ngazi ndefu zaidi hupoteza mara chache zaidi, katika 3.6%, 1.8% na 0.9% ya mizunguko ya mfumo, lakini kila hasara ni kubwa mara mbili, na fedha zaidi hupita jedwalini kila mzunguko wa mfumo, kwa 2.70% ya kila dau.
Kwenye gurudumu la Marekani 2q = 40/38 na takwimu ni −$29.24, −$36.04 na −$43.20 (Taylor, 2021). Katika mchezo usio na sifurigurudumuSifuriKiboksi kimoja cha kijani ambacho hakuna dau la uwiano sawa, dazeni au safu hufunika; chanzo cha faida ya nyumba. Pia: sifuri moja, 0.Soma yote → 2q = 1, na kila mzunguko wa mfumo una wastani wa sifuri hasa, bila kujali urefu wa ngazi.
“Martingale kuu” huzidisha dau mara mbili baada ya hasara na kuongeza kitengofedhaKitengoDau la msingi ambalo mfumo au mchezaji hutumia. Mifumo ya ongezeko huelezwa kwa vitengo ili itumike katika jedwali lolote.Soma yote → kimoja, kwa hiyo dau huenda 1, 3, 7, 15, 31 … Una faida ya kiasi gani ushindi wa kwanza ukija kwenye dau la 1, la 2, la 3 au la k? Kwa kitengo cha $10 na kiwango cha juu cha $500, mzunguko wa mfumo huvunjika mara ngapi, na mzunguko wa mfumo hugharimu kiasi gani kwa wastani?
Onyesha suluhisho
Jibu Ushindi kwenye dau la k hukuachia faida ya vitengo k: +1, +2, +3 na kadhalika. Kwa $10 na $500 mzunguko wa mfumo huvunjika baada ya hasara tano, 3.57% ya mizunguko ya mfumo, kwa −$570. Kwa wastani mzunguko wa mfumo hupoteza $2.32 kati ya $85.73 zilizowekwa: 2.70%.
Dau la k ni vitengo 2ᵏ − 1: 1, 3, 7, 15, 31. Dau k − 1 za kwanza hujumlika kuwa 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. Ushindi kwenye dau la k hulipa 2ᵏ − 1, kwa hiyo mzunguko wa mfumo huisha na faida ya (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = vitengo k: kitengo kimoja cha ziada kwa kila hasara kabla ya ushindi.
Kwa $10 kwa kitengo, dau ni $10, $30, $70, $150 na $310; linalofuata, $630, linazidi kiwango cha juu cha $500. Hasara tano mfululizo, (19/37)⁵ = 3.57%, hugharimu 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Wastani: ushindi huleta $10 × k kwa nafasi ya (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 kwa k = 1 hadi 5, na kuvunjika huchukua $570 kwa nafasi ya 3.57%; pamoja −$2.32. Fedha zilizowekwa ni wastani wa $85.73 kwa kila mzunguko wa mfumo, na 2.32/85.73 = 2.70%. Martingale ya kawaida kwenye jedwali hilo hilo huvunjika baada ya hasara sita, 1.83% ya mizunguko ya mfumo, kwa −$630, na hupoteza $1.74 kati ya $64.20 zilizowekwa: 2.70% tena.
Mchezaji anapanga Martingale kwenye nyekundu kwa dau la kwanza la $1 kwenye jedwali lenye kikomo cha $1,000, kwa hiyo dau kumi zinawezekana: $1, $2, $4 na kuendelea hadi $512. Mzunguko wa mfumo hupoteza dau zote kumi mara ngapi, hilo huchukua muda gani kwa wastani, na jioni ya dau 200 huisha hivyo mara ngapi?
Onyesha suluhisho
Jibu Mzunguko wa mfumo hupoteza dau zote kumi takribani mara moja katika 784, jambo linalogharimu $1,023. Hiyo ni takribani dau 1,600 kwa wastani, na jioni ya dau 200 hugonga ukuta takribani 11% ya mara. Mzunguko wa mfumo bado hupoteza $0.31 kwa wastani kati ya $11.31 zilizowekwa: 2.70%.
Dau kwenye nyekundu hupoteza kwa nafasi ya 19/37, sifuri ikiwemo. Kumi mfululizo: (19/37)¹⁰ ≈ 0.00128, takribani 1 katika 784. Dau 1 + 2 + 4 + … + 512 hujumlika kuwa $1,023.
Mzunguko wa mfumo huchukua dau 2.05 kwa wastani, kwa hiyo mizunguko ya mfumo 784 huchukua takribani dau 1,600. Ukihesabu mzunguko kwa mzunguko, mfululizo wa hasara kumi hujitokeza mahali fulani katika dau 200 kwa 11.3% ya mara.
Kati ya maafa, mchezaji hushinda $1 kwa kila mzunguko wa mfumo: takribani $783 kabla ya ule mbaya, kisha −$1,023, takribani −$240 katika kipindi chote. Kwa kila mzunguko wa mfumo: 1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31. Fedha zilizowekwa kwa kila mzunguko wa mfumo: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31. Na −0.31/11.31 = −2.70%.
Linganisha na dau la kwanza la $10 kwenye kikomo cha $500, dau sita: ukuta huja mara moja katika mizunguko ya mfumo 55, na jioni ya dau 200 huugonga 84% ya mara. Kikomo cha juu zaidi hufanya anguko kuwa nadra zaidi na kubwa zaidi, si la bei nafuu zaidi.
Kichekesho
Nadra zaidi na kubwa zaidi, kwa kila kikomo. Zao halibadiliki.
Vyanzo
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, toleo la 2.